Đường tròn là gì? Vị trí tương đối của hai đường tròn
Đường tròn là khái niệm cơ bản trong hình học nhưng là phần kiến thức được sử dụng nhiều trong các kỳ thi lớn. Bài viết dưới đây sẽ giúp các bạn ôn tập lại để nắm vững đường tròn là gì? Tính chất đường tròn, Vị trí tương đối của hai đường tròn,… để cùng áp dụng đưa ra những phương pháp giải bài toán liên quan đến đường tròn.
Tóm tắt
Định nghĩa đường tròn là gì?
Trong hình học phẳng, đường tròn hay còn gọi là vòng tròn là tập hợp những điểm trên cùng một mặt phẳng cách đều một điểm cho trước bằng 1 khoảng cách nhất định nào đó. Khoảng cách này được gọi là bán kính của đường tròn và điểm cho trước là tâm của đường tròn đó.
Định nghĩa khác của đường tròn là một hình elip đặc biệt có 2 tiêu điểm trùng nhau và tâm sai bằng 0; đồng thời là hình bao quanh nhiều diện tích nhất trên mỗi đơn vị chu vi bình phương.
Tính chất của đường tròn
- Đường tròn là một hình có diện tích lớn nhất với chu vi cho trước và tỉ lệ thuận với bình phương bán kính theo hằng số π.
- Chu vi đường tròn tỉ lệ thuận với bán kính của đường tròn đó theo một hằng số là 2π.
- Đường tròn có tính đối xứng cao bởi đường tròn là hình có tâm đối xứng và tâm của đường tròn đó là tâm đối xứng của cả đường tròn. Bất kỳ trục đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.
- Mọi đường tròn đều đồng dạng.
- Đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ và có bán kính r = 1 được gọi là đường tròn đơn vị.
- Đường tròn lớn của hình cầu đơn vị được gọi là đường tròn Riemann.
- Với 3 điểm không thẳng hàng, tồn tại duy nhất một đường tròn đi qua 3 điểm đó.
- Trong hệ tọa độ Descartes, khi biết tọa độ 3 điểm ta có thể xác định được phương trình cho tọa độ của tâm cùng bán kính của đường tròn (lý thuyết đường tròn ngoại tiếp).
Dây của đường tròn
Độ dài giữa đường kính và dây của đường tròn
Trong một đường tròn bất kỳ nào thì đường kính luôn là dây lớn nhất.
Đường kính và dây của đường tròn với mối quan hệ vuông góc
- Trong một đường tròn, khi đường kính vuông góc với một dây bất kỳ thì đi qua trung điểm của dây đó.
- Ngược lại, trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây bất kỳ thì vuông góc với dây đó.
Mối liên hệ giữa dây với khoảng cách từ tâm đến dây
- Trong một đường tròn: 2 dây bằng nhau thì cách đều tâm; 2 dây cách đều tâm thì bằng nhau.
- Trong 2 dây của một đường tròn: Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn; dây nào nhỏ hơn thì dây đó xa tâm hơn.
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Cho đường tròn tâm (O,R) và đường thẳng d với d = d(O), khi đó:
- d < R ⇔ Đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt
- d = R ⇔ Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại 1 điểm
- d > R ⇔ Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
Trong trường hợp đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau khi đó đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn và tiếp điểm là điểm chung giữa đường thẳng và đường tròn đó.
Các dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
DH1: 1 đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn thì đường thẳng đó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
DH2: 1 đường thẳng đi qua 1 điểm của đường tròn đồng thời vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì nó là tiếp tuyến của đường tròn.
Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm (gọi là A), khi đó:
- A cách đều 2 tiếp điểm
- Tia kẻ từ điểm A đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua A là tia phân giác được tạo bởi hai bán kính (đi qua tiếp điểm).
Đường tròn nội tiếp tam giác
- Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam tác, đồng thời tam giác đó được gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn.
- Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đồng thời là giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác.
Đường tròn bàng tiếp tam giác
- Đường tròn bàng tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác đồng thời tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia.
- Với một tam giác bất kỳ sẽ có 3 đường tròn bàng tiếp.
- Cho tam giác ABC, tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B, C. Hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A cùng đường phân giác ngoài tại B hoặc C.
Vị trí tương đối của 2 đường tròn
Tính chất của đường nối tâm
Hai đường tròn có tâm không trùng nhau (O; R) và (O’; r): Đường thẳng OO’ gọi là đường nối tâm; đoạn thẳng OO’ gọi là đoạn nối tâm.
- Đường nối tâm của 2 đường tròn là trục đối xứng của hình bao gồm hai đường tròn ấy.
- Khi 2 đường tròn cắt nhau thì 2 giao điểm sẽ đối xứng với nhau qua đường nối tâm.
- Khi 2 đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm sẽ thuộc đường nối tâm.
3 vị trí tương đối của hai đường tròn
Ta xét 2 đường tròn (O; R) và (O’; r) là 2 đường tròn không trùng tâm và R > r.
- Hai đường tròn cắt nhau
Hai đường tròn (O; R) và (O’, r) cắt nhau ⇔ (O; R) và (O’; r) có 2 điểm chung (A,B).
Hai điểm chung A,B được gọi là giao điểm và đoạn thẳng nối 2 điểm là AB được gọi là dây cung.
Khi đó: – Hai giao điểm A,B đối xứng nhau qua đường nối tâm OO’.
– Đường nối tâm OO’ là trung trực của dây cung AB
=> Hệ thức: R – r < OO’ < R + r
- Hai đường tròn tiếp xúc nhau
Hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc nhau ⇔ (O; R) và (O’; r) chỉ có 1 điểm chung là A. A được gọi là tiếp điểm và A nằm trên đường nối tâm OO’ (A ∈ OO’).
TH1: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài
Hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài và có giao điểm là A
A là tiếp điểm và A nằm giữa OO’.
=> Hệ thức: OO’ = R + r
TH2: Hai đường tròn tiếp xúc trong
Hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc và có giao điểm là A
A là tiếp điểm; O’ nằm giữa O và A.
=> Hệ thức: OO’ = R – r
- Hai đường tròn không giao nhau
Hai đường tròn (O; R) và (O’; r) không giao nhau ⇔ (O; R) và (O’; r) không có điểm chung.
TH1: Hai đường tròn ở phía ngoài nhau
Hệ thức: OO’ > R + r
TH2: Hai đường tròn chứa nhau
Hệ thức: OO’ < R – r
TH3: Hai đường tròn đồng tâm
Hệ thức: OO’ = 0 và R > r.
Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Đường thẳng tiếp xúc đồng thời với cả hai đường tròn là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó. Có 2 loại tiếp tuyến chung gồm:
– Tiếp tuyến chung trong là dạng tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm
– Tiếp tuyến chung ngoài là dạng tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.
* Hai đường tròn cắt nhau thì có 2 tiếp tuyến chung ngoài.
* Hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì có 2 tiếp tuyến chung ngoài và 1 tiếp tuyến chung trong.
* Hai đường tròn tiếp xúc trong chỉ có duy nhất 1 tiếp tuyến
* Hai đường tròn ở ngoài nhau sẽ có 2 tiếp tuyến chung trong và 2 tiếp tuyến chung ngoài.
* Hai đường tròn đựng nhau và 2 đường tròn đồng tâm thì không có bất kỳ tiếp tuyến chung trong cũng như tiếp tuyến chung ngoài nào cả.
Các dạng bài toán về đường tròn và phương pháp giải
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của 2 đường tròn
Phương pháp giải:
- Xác định độ dài của đoạn nối tâm giữa 2 đường tròn
- Áp dụng hệ thức liên hệ giữa độ lớn các bán kính cùng độ dài đoạn nối tâm để xác định vị trí tương đối của 2 đường tròn đã cho.
Dạng 2: Bài toán liên quan đến hai đường tròn tiếp xúc nhau
Phương pháp giải:
- Vẽ đường nối tâm của 2 đường tròn đã cho.
- Áp dụng tính chất tiếp điểm ∈ đường nối tâm
- Áp dụng hệ thức d = R + r hoặc d = R – r (d là độ dài đoạn nối tâm) với đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn.
- Ngoài ra, trong những trường hợp cần thiết ta có thể kẻ tiếp tuyến chung tại tiếp điểm để áp dụng tính chất đặc trưng cùng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau để giải bài toán.
Dạng 3: Bài toán về hai đường tròn cắt nhau.
Phương pháp giải:
- Vẽ dây chung và đường nối tâm của 2 đường tròn đã cho
- Sử dụng tính chất đường nối tâm là trung trực của dây chung để giải bài toán.
Dạng 3: Chứng minh các quan hệ hình học
Phương pháp giải:
- Xác định vị trí tương đối của 2 đường tròn đã cho
- Áp dụng tính chất tiếp tuyến: tiếp tuyến chung, tiếp tuyến cắt nhau và dây chung vuông góc với đường nối tâm để giải bài toán.
Trên đây là tổng hợp những kiến thức trọng tâm về đường tròn giúp các bạn nắm vững và hiểu rõ đường tròn là gì? 3 dạng vị trí tương đối của hai đường tròn,… cùng các dạng bài toán và phương pháp giải. Hy vọng sẽ hữu ích trong việc giải bài tập về đường tròn của các bạn!