Bậc của đa thức là gì? Bài tập tìm nghiệm của đa thức, thu gọn đa thức

Đa thức là gì? Bậc của đa thức là gì? Thế nào là một đa thức một biến? Nghiệm của đa thức? Thu gọn đa thức là gì? Cách thu gọn một đa thức?. Hàm đa thức là gì?… là những câu hỏi thường gặp liên quan đến kiến thức đại số trong toán lớp 7. Cùng giải đáp những câu hỏi này và áp dụng giải bài tập liên quan đến kiến thức đa thức trong bài viết dưới đây nhé!

Các khái niệm về đa thức

Đa thức là gì?

Đa thức là tổng của những đơn thức mà trong đó mỗi đơn thức được gọi là một hạng tử của đa thức đó. 

Mỗi đa thức là một biểu thức nguyên và mỗi đơn thức trong đa thức đều được coi là 1 đa thức hay là một hạng tử của đa thức đó.

Ví dụ: 5x + 2y – 7z + 3;  x² – 4 ; 2x + y² – 7z³ + 3 là các đa thức, trong đó:

• Đa thức: 5x + 2y – 7z + 3 gồm các hạng tử là các đơn thức: 5x; 2y; -7z; 3
• Đa thức: x² – 4 gồm các hạng tử là các đơn thức: x²; 4
• Đa thức: 2x + y² – 7z³ + 3 gồm các hạng tử là các đơn thức: 2x; y²; -7z³; 3

Thu gọn đa thức là gì? Cách thu gọn đa thức

Thu gọn đa thức tức là đưa đa thức về dạng thu gọn không còn xuất hiện trên hai hạng tử (đơn thức) đồng dạng nào. Để thu gọn đa thức ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Nhóm các đơn thức đồng dạng lại với nhau.

Bước 2: Thực hiện các phép toán (cộng, trừ) giữa các đơn thức đồng dạng trong từng nhóm để thu gọn chúng.

Ví dụ:  Thu gọn đa A =  5x²y + xy² – 7x²y + 5 – 5z + 2xy² – z

Giải:

A = 5x²y + xy² – 7x²y + 5 – 5z + 2xy² – z

    = (5x²y – 7x²y) + (xy² + 2xy²) – (5z + z) + 5

    = -2x²y + 3xy² – 6z + 5

Bậc của đa thức

Trong một đa thức, hạng tử hay còn gọi là đơn thức nào có bậc cao nhất thì chính là bậc của đa thức chứa hạng tử đó. Hay nói cách khác, bậc của đa thức chính là bậc của hạng tử có bậc cao nhất.

Ví dụ: Đa thức: -2x²y + 3xy² – 6z + 5 có bậc là 3. Đa thức: 3x³y³ – 5xz² – 10 có bậc là 6.

Đa thức một biến là gì?

Đa thức một biến là tổng của các đơn thức của cùng một biến và số mũ lớn nhất của biến trong đa thức được coi là bậc của đa thức một biến. Mỗi số thì đều được gọi là một đa thức một biến.

Ví dụ: Đa thức -2x² + 3x + 5 là một đa thức một biến; bậc của đa thức này là 2.

Hệ số của lũy thừa 0 của biến được gọi là hệ số tự do; hệ số cao nhất là hệ số của lũy thừa cao nhất của biến.

Ví dụ: Đa thức -2x² + 3x + 5 có hệ số tự do là 5; hệ số cao nhất là -2.

Nghiệm của đa thức là gì? Nghiệm của đa thức một biến

Định nghĩa nghiệm của đa thức: Các bài toán liên quan đến đa thức đều nhằm mục đích tìm các nghiệm của đa thức. Cũng giống như nghiệm của phương trình đại số f(x) vì tại một giá trị x = a làm cho f(x) = 0 thì a được gọi là nghiệm của f(x). Đồng thời a cũng là nghiệm của đa thức g(x) và làm cho g(x) = 0 thì khi đó ta có: f(x) = g(x) = 0. Và vì vậy, a là nghiệm của phương trình.

Nghiệm của đa thức một biến cũng tương tự. Ta có ví dụ: Cho đa thức 1 biến là: P(x) = x² – 4. Tại giá trị x = 2 hoặc x = -2 thì P(x) có giá trị = 0. Vậy 2 và -2 được gọi là nghiệm của đa thức P(x).

Các phép toán trên đa thức

Cộng đa thức

Muốn cộng hai đa thức bất kỳ nào đó ta thực hiện lần lượt các bước như sau:

• Viết liên tiếp các hạng tử cùng dấu của các hạng tử đó của 2 đa thức cần tính.
• Nếu xuất hiện các đơn thức đồng dạng ta tiến hành thu gọn chúng.

Ví dụ: Cộng hai đa thức: -2x²y+ 3y + 5 và 7x²y + z -1

Ta có:  (-2x²y+ 3y + 5) + (7x²y + z -1) = -2x²y+ 3y + 5+ 7x²y + z -1

                                                              = (-2x²y + 7x²y) + 3y + z + (5 -1)

                                                              = 5x²y + 3y + z + 4

Trừ đa thức

Muốn trừ hai đa thức bất kỳ nào đó ta thực hiện lần lượt các bước như sau:

• Viết liên tiếp các hạng tử cùng dấu của các hạng tử đó của đa thức thứ nhất.
• Viết tiếp các hạng tử cùng dấu ngược lại của các hạng tử đó của đa thức thứ hai.
• Nếu xuất hiện các hạng tử đồng dạng ta tiến hành thu gọn chúng.

Ví dụ: Cho hai đa thức: -2x²y+ 3y + 5 (1) và 7x²y + z -1 (2). Hãy thực hiện phép trừ giữa 2 đa thức đã cho: (1) – (2) ta được:

(-2x²y+ 3y + 5) – (7x²y + z -1) = -2x²y+ 3y + 5 – 7x²y – z + 1

                                                 = (-2x²y – 7x²y) + 3y – z + (5 +1)

                                                 = -9x²y + 3y – z + 6

Xem thêm: Đơn thức là gì? Bậc của đơn thức là gì? Các dạng toán về đơn thức

Nhân đa thức với đơn thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức bất kỳ ta tiến hành nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức sau đó cộng tổng tất cả với nhau.

CT:       A.(B + C) = AB + BC

Ví dụ:   x.(3x²y -y + 5) = 3x³3y – xy + 5x

Nhân đa thức với đa thức

Muốn nhân một đa thức với một đa thức bất kỳ khác ta thực hiện nhân lượt lượt các hạng tử của đa thức này với các hạng tử của đa thức còn lại sau đó cộng tổng tất cả chúng với nhau.

CT:        (A + B).(C + D) = A.(C + D) + B.(C + D)

                                         = AC + AD + BC + BD

Ví dụ:     (x + 1).(7x²y + z -1) =  x.(7²2y + z -1) + 1.(7x²y + z -1)

                                                =  7x³y + xz – x + 7x²y + z -1

                                                =  7x³y + 7x²y + xz – x + z -1

Chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia một đa thức cho một đơn thức bất kỳ nào đó ta thực hiện chia lần lượt các hạng tử của đa thức bị chia cho đơn thức bị chia sau đó cộng tổng tất cả chúng với nhau.

Ví dụ: Cho đa thức 3x³$y^6$ + 9x$y^4$ – 6xy² và đơn thức 3xy, Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức.

(3x³$y^6$ + 9x$y^4$ – 6xy²) : 3xy = (3x³$y^6$ : 3xy) + (9x$y^4$ : 3xy) – (6xy² : 3xy) = x²$y^5$ + 3y³ – 2y

Chia đa thức cho đa thức

Muốn chia đa thức cho một đa thức khác bất kỳ ta thực hiện sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến sau đó thực hiện phép chia như bình thường.

Ví dụ: Cho hai đa thức 2$x^4$ – 3x³ – 3x² + 6x -2 (1) và x² – 2 (2). Thực hiện chia đa thức (1) cho đa thức (2) ta được:

Các dạng toán thường gặp về đa thức

Nhận biết đa thức

Phương pháp làm:

Căn cứ vào định nghĩa của đa thức để xác định được đâu là đa thức đâu không phải là đa thức.

Thu gọn đa thức

Phương pháp làm:

Để thu gọn một đa thức bất kỳ nào đó ta lần lượt thực hiện các bước như sau:

• Xác định được các đơn thức đồng dạng và nhóm chúng thành từng nhóm.
• Thực hiện các phép cộng, trừ đơn thức đồng dạng trong từng nhóm rồi cộng tổng chúng lại với nhau.

Xác định bậc của đa thức

Phương pháp làm:

• Thu gọn đa thức đã cho hoặc viết chúng dưới dạng đa thức thu gọn.
• Bậc của đa thức chính là bậc của hạng tử có bậc cao nhất. Bậc của đa thức là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức khi đa thức đó là đa thức một biến.

Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Cho các biểu thức dưới đây. Xác định đâu là đa thức, đâu không phải là đa thức và chỉ ra bậc của các đa thức đó.

1. 3x³$y^6$ + 9x$y^4$ – 2
2. 5
3. 5xy – 3y$z^4$
4. xy

Hướng dẫn làm:

Các biểu thức a) và c) là các đa thức vì đều là tổng của các đơn thức.

a) Đa thức 3x³$y^6$ + 9x$y^4$ – 2 có bậc là 9

c) Đa thức 5xy – 3y$z^4$ có bậc là 5

Các biểu thức b) và d) là các đơn thức không phải là đa thức.

Bài tập 2: Rút gọn các đa thức đã cho dưới đây và xác định bậc của đa thức đã thu gọn.

1. 3x³$y^6$ + 9x$y^4$ – 6xy² +5 – x³$y^6$ – 2 x$y^4$ – z – 4
2. 4xy -2 + 3x$y^4$ – xy + 2x$y^4$ – z -1
3. x³ + y² + z + 2x³ + 2y²+ 2z

Hướng dẫn làm:

a) 3x³$y^6$ + 9x$y^4$ – 6xy² +5 – x³$y^6$ – 2 x$y^4$ – z – 4

= (3x³$y^6$ – x³$y^6$) + (9x$y^4$ – 2x$y^4$) – 6xy² – z + (5 – 4)

= 2x³$y^6$ + 7x$y^4$ – 6xy² – z + 1

Bậc của đa thức: 2x³$y^6$ + 7x$y^4$ – 6xy² – z + 1 là 9

b) 4xy -2 + 3x$y^4$ – xy + 2x$y^4$ – z -1

= (3x²y^4 + 2x²y^4) + (4xy – xy) – z -1

= 5x²$y^4$ + 3xy – z – 1

Bậc của đa thức: 5x²$y^4$ + 3xy – z – 1 là 6.

c)  x³ + y² + z + 2x³ + 2y² + 2z

= (x³ + 2x³) + (y² +  2y²) + (z + 2z)

= 3x³ + 3y² + 3z

Bậc của đa thức: 3x³ + 3y² + 3z là 3.

Bài tập 3: Thực hiện các phép tính dưới đây:

1. Tính tổng 2 đa thức: 5x²$y^4$ + 3xy² – 3 và x²$y^4$– 2xy² – z + 1
2. -2x²+ 3y + 5 (1) và 7x² + z -1 (2). Tính hiệu của (1) – (2).
3. Tính tích 2 đa thức: (x + 1) và (x³ + y² + z)
4. Tích hiệu 2 đa thức: (3x³ + 3y² + 3z) : (x³ + y² + z)

Hướng dẫn làm:

a) (5x²$y^4$ + 3xy² – 3) + (x²$y^4$ – 2xy² – z + 1)

= 5x²$y^4$ + 3xy² – 3 + x²$y^4$ – 2xy² – z + 1

= (5x²$y^4$ + x²$y^4$) + (3xy² – 2xy²) – z -(3 – 1)

= 6x²$y^4$ + xy²  – z – 2

b) (-2x² + 3y + 5) – (7x² + z -1)

= -2x² + 3y + 5 – 7x² – z + 1

= (-2x² – 7x²) + 3y – z + (5 + 1)

= -9x² + 3y – z + 6

c) (x + 1) . (x³ + y² + z) = x.(x³ + y² + z) + 1.(x³ + y² + z)

                                  = x^4 + xy² + xz + x³ + y² + z

                                  = x^4 + x³ + xy² + y² + xz + z

d) (3x³ + 3y² + 3z) : (x³ + y² + z) = 3

Bài tập 4: Cho biểu thức: P = 2(2x + 1)(x-3) – 3(x -3)(x+1):

1. Rút gọn biểu thức P
2. Tính giá trị biểu thức P khi x = 3
3. Tìm x để P = 0

Hướng dẫn làm:

a) P =  2(2x + 1)(x-3) – 3(x -3)(x+1)

   =  2(2x² – 6x + x – 3) – 2(x² + x – 3x – 3)

   =  2(2x² – 5x – 3) – 2(x² – 2x – 3)

   =  4x² – 10x – 6 – 2x² + 4x + 6

   =  2x² – 6x

b) Khi x = 2 => P = 2x² – 6x = 2.22 – 6.2 = 8 – 12 = -4

c) P = 2x² – 6x = 0 ⇔ 2x(x – 3) = 0 => 2x = 0 hoặc x – 3 = 0

TH1: 2x = 0 ⇔ x = 0

TH2: x – 3 = 0 ⇔ x = 3

Vậy P = 0 khi và chỉ khi x = 0 hoặc x = 3.

Bài tập 5: Tính giá trị của các biểu thức dưới đây với x = 1 và y =2

1. A = 2$x^5$ + 5y² – 10
2. B = 2x³y + 3xy² – 3xy – y + 4
3. C = x² + 2xy + y²

Hướng dẫn làm:

a) Với x = 1; y = 2 => A = 2$x^5$ + 5y² – 10 = 2.15 + 5.22 – 10

                                                              =  2 + 20 – 10 = 12

b)  Với x = 1; y = 2 => B = 2x³y + 3xy² – 3xy – y + 4

                                                        =  2.13.2 + 3.1.22 – 3.1.2 – 2 + 4

                                                        =  4 + 12 – 6 – 2 + 4 = 12

c) Với x = 1; y = 2 => C = x² + 2xy + y² = 12 + 2.1.2 + 22 = 9

Tóm lại, bài viết trên đã tổng hợp lại những kiến thức cơ bản liên quan đến đa thức là gì? Hy vọng bạn đọc hiểu hơn về bản chất của đa thức, có thể áp dụng giải thành công các bài toán xác định bậc của đa thức, tìm nghiệm của đa thức, tính giá trị cũng như rút gọn đa thức,…