Đồng quy là gì? Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
Đồng quy là một dạng bài mà chúng ta thường gặp trong Toán hình học cấp 2 cũng như cấp 3. Vậy đồng quy là gì? Làm thế nào để chứng minh được 3 đường thẳng đồng quy? Trong nội dung bài viết dưới đây, maynenkhikhongdau.net sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!
Tóm tắt
Đồng quy là gì?
Trước khi tìm hiểu 3 đường thẳng đồng quy là gì chúng ta hãy cùng xem qua giải thích thế nào là đồng quy nhé! Đồng quy thực chất là một từ Hán Việt nhưng được sử dụng khá nhiều trong cuộc sống hàng ngày.
- Đồng: Có nghĩa là cùng nhau, song hành, sát cánh
- Quy: Có nghĩa là tụ lại, tập trung, tập hợp tại một điểm
Nói tóm lại “đồng quy” tức là cùng gặp nhau tại một vị trí cụ thể.
Ba đường thẳng đồng quy là gì?
Định nghĩa về ba đường thẳng đồng quy được diễn giải như sau: “Cho ba đường thẳng lần lượt là a, b, c không trùng với nhau. Nếu ba đường thẳng a,b,c cùng đi qua một điểm O nào đó thì ta sẽ gọi đó là đồng quy.
Đường đồng quy sẽ có những tính chất nổi bật gì?
Dưới đây là một số tính chất vô cùng quan trọng về đường đồng quy mà bạn cần ghi nhớ để có thể ứng dụng vào quá trình làm bài tập.
– Nếu hai đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm cụ thể thì từ đó có thể suy ra đường cao thứ 3 cũng sẽ cùng đi qua giao điểm đó.
– Nếu ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là trọng tâm của tam giác.
– Ba đường cao trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là trực tâm của tam giác.
– Nếu hai đường trung tuyến trong tam giác bất kỳ cắt nhau tại một điểm thì từ đó ta có thể suy ra đường trung tuyến thứ 3 chắc chắn cũng đi qua giao điểm đó. Trọng tâm sẻ chia đoạn thẳng trung tuyến thành 3 phần: Từ trọng tâm lên tới đỉnh chiếm tới 2/3 độ dài của trung tuyến đó.
– Nếu ba đường phân giác trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm cụ thể thì điểm này sẽ được gọi là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.
– Nếu hai đường phân giác của tam giác cắt nhau tại một điểm cụ thể thì từ đó ta có thể suy ra đường phân giác thứ 3 cũng sẽ đi qua giao điểm đó. Giao điểm của 3 đường phân giác sẽ cách đều 3 cạnh của tam giác.
– Khi ba đường trung trực trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
– Nếu hai đường trung trực bên trong tam giác cắt nhau tại một điểm thì từ đó chúng ta có thể suy ra đường trung trực thứ 3 chắc chắn đi qua giao điểm đó. Giao điểm của 3 đường trung trực sẽ cách đều 3 đỉnh của tam giác.
Hướng dẫn cách chứng minh đồng quy trong toán học
Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy bạn có thể áp dụng những cách làm sau đây:
Cách 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng, sau đó tiến hành chứng minh đường thẳng thứ ba cũng đi qua giao điểm đó.
Cách 2: Chứng minh một điểm bất kỳ cũng thuộc vào ba đường thẳng đó.
Cách 3: Sử dụng 1 trong những tính chất đồng quy trong tam giác như là:
* Ba đường thẳng có chứa các đường trung tuyến.
* Ba đường thẳng có chứa các đường phân giác.
* Ba đường thẳng có chứa các đường trung trực.
* Ba đường thẳng có chứa các đường các đường cao.
Cách 4: Sử dụng tính chất của các đường thẳng định ra trên hai đường thẳng song song và những đoạn thẳng tỉ lệ.
Cách 5: Sử dụng các chứng minh phản chứng.
Cách 6: Sử dụng tính chất thẳng hàng của các điểm
Cách 7: Chứng minh các đường thẳng đều đi qua một điểm duy nhất.
Luyện tập giải các bài tập liên quan đến 3 đường thẳng đồng quy
Dưới đây là một số bài tập thường gặp về đường thẳng đồng quy mà bạn có thể tham khảo:
Bài 1: Cho tam giác ABC, qua lần lượt mỗi đỉnh A, B, C ta kẻ 3 đường thẳng song song với cạnh đối diện và chúng sẽ cắt nhau tại F, D, E. Hãy chứng minh rằng ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại 1 điểm.
Lời giải:
Ta có:
AE // BC
AB // CE
Từ đó suy ra được ABCE là 1 hình bình hành.
⇒ AE = BC
Dùng cách chứng minh tương tự ta cũng có ACBF là hình bình hành.
⇒ AF = BC
⇒ AE = AF
Như vậy A là trung điểm của EF.
Tương tự ta cũng có được B là trung điểm của đường thẳng DF, C là trung điểm của DE.
Như vậy, A, B, C lần lượt là trung điểm của ba cạnh tam giác DEF. Do đó ta có thể ⇒AD, BE, CF đồng quy tại trọng tâm của tam giác DEF.
Bài 2: Tìm m để 3 đường thẳng sau đồng quy tại 1 điểm.
Ta có 3 đường thẳng lần lượt là (d1): y = 2x + 1; (d2): y = (-x) – 2; (d3): y = (m-1)x – 4
Lời giải:
Xét phương trình hoành độ là giao điểm của đường thẳng (d1) và (d2) ta có: y = 2x + 1 = (-x) – 2 ⇔ 3x = -3 ⇔ x = -1
Suy ra ta có y = 2 x (-1) + 1 = -1
Như vậy giao điểm của (d1) với (d2) sẽ là là I(-1;-1)
Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm I sẽ phải thuộc vào đường thẳng (d3)
=> -1 = (m – 1) x (-1) – 4 ⇔ m = -2
Như vậy phương trình đường thẳng (d3) sẽ là: y = -3x – 4
Hy vọng bài viết trên của chúng tôi đã giúp bạn hiểu đường đồng quy là gì, tính chất của nó cũng như cách chứng minh để có thể giải bài tập liên quan một cách nhanh chóng nhất nhé!