Tổng hợp lý thuyết Góc với đường tròn – Độ dài, diện tích hình tròn

Hình học là một phần quan trọng trong môn Toán học. Cũng như Đại số thì kiến thức về hình học cũng vô cùng phong phú và đa dạng. Trong đó, góc và diện tích hình tròn là những kiến thức tiêu biểu mà muốn học tốt môn Toán thì bạn cần nắm vững. Ở bài viết sau đây, maynenkhikhongdau.net sẽ cùng bạn khám phá chi tiết những kiến thức cơ bản về góc với đường tròn nhé!

Các kiến thức về góc

Góc là kiến thức vô cùng quan trọng trong môn Toán hình học. Chỉ khi bạn hiểu rõ được tính chất, các loại góc cơ bản thì mới có thể làm tốt các bài tập về diện tích hình tròn. Chúng ta sẽ cùng điểm qua một số góc phổ biến trong phần đường tròn như sau:

Góc ở tâm là gì?

Trước khi tìm hiểu về diện tích hình tròn thì chúng ta cần nắm vững kiến thức về góc ở tâm. Vậy góc ở tâm là gì?

Khái niệm

Góc ở tâm được định nghĩa là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn. 

Số đo của cung

• Cung nhỏ có số đo bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó
• Cung lớn có số đo bằng số đo bằng hiệu giữa 360 độ với số đo của cung nhỏ có chung hai mút với cung lớn.
• Nửa đường tròn có số đo bằng 180 độ và số đo của cả đường tròn là 360 độ. 
• Cung không có số đo bằng 0 độ nhưng cung có hai mút trùng nhau.

So sánh hai cung

Nếu trong trường hợp một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau thì:

• Nếu hai cung có số đo bằng nhau thì được gọi là bằng nhau
• Xét hai cung, số đo cung nào lớn hơn thì sẽ được gọi là cung lớn.

Định lý góc ở tâm

Góc ở tâm có định lý như sau: Nếu trên cung AB có điểm C nằm giữa thì cung AB có số đo bằng số đo cung AC cộng với số đo cung BC. 

Góc nội tiếp là góc gì?

Muốn làm tốt các bài tập về diện tích hình tròn thì bạn còn cần phải học chắc kiến thức về các góc nội tiếp đường tròn. Vậy góc nội tiếp là góc gì?

Định nghĩa góc nội tiếp

Theo các kiến thức trong môn Hình học thì góc nội tiếp được hiểu là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và có hai cạnh mà chứa hai dây cung của đường tròn đó. Ngoài ra, nếu một cung nằm bên trong của góc nội tiếp thì sẽ được gọi là cung bị chắn.

Định lý

Khi nói về định lý của góc nội tiếp thì góc nội tiếp trong một đường tròn có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn. 

Hệ quả

Trong một đường tròn:

• Nếu như các góc nội tiếp bằng nhau thì sẽ chắn các cung bằng nhau
• Những góc nội tiếp mà chắn các cung bằng nhau hoặc cùng chắn một cung thì bằng nhau
• Góc nội tiếp thường có số đo nhỏ hơn hoặc bằng 90 và có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung
• Góc nội tiếp mà chắn nửa đường tròn thì góc đó là góc vuông

Xem thêm: Góc là gì? Cách xác định số đo góc và tia phân giác của góc

Góc được tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Một phần kiến thức quan trọng giúp bạn làm tốt các bài tập về diện tích hình tròn đó là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Vậy đó là góc gì?

Định nghĩa:

Nếu như trong đường tròn tâm O có tia Ax là tia tiếp tuyến tại điểm A và dây cung AB thì góc BAx được gọi là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

Định lý:

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung là góc có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn. 

Hệ quả:

Nếu như trong một đường tròn có góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì sẽ có số đo bằng nhau.

Góc có các đỉnh bên ngoài đường tròn, bên trong đường tròn

Góc mà có các có đỉnh bên trong đường tròn

• Khái niệm: Ở hình bên góc ADC nằm trong đường tròn (O) được gọi là góc có đỉnh bên trong đường tròn
• Định lý: Góc có đỉnh bên trong đường tròn sẽ có số đo bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn.

Góc mà có đỉnh bên ngoài đường tròn

• Khái niệm: Theo hình bên thì góc có đỉnh bên ngoài đường tròn là góc mà đỉnh nằm bên ngoài hình đường tròn và có cách cạnh đều có điểm chung với đường tròn.
• Định lý: Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn.

Xem thêm: Đường tròn là gì? Vị trí tương đối của hai đường tròn

Mối liên hệ giữa cung và dây

Nói về mối liên hệ giữa cung và dây thì ta có định lý như sau:

• Định lý 1: Trường hợp có hai cung nhỏ trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau thì:

• Nếu hai cung bằng nhau thì sẽ căng hai dây bằng nhau
• Nếu hai dây bằng nhau thì sẽ căng hai cung bằng nhau

• Định lý 2: Trường hợp hai cung lớn trong một đường tròn hay hoặc hai đường tròn bằng nhau
• Cung lớn hơn thì sẽ căng dây lớn hơn;
• Dây lớn hơn thì sẽ căng cung lớn hơn.

Một vài lưu ý đối với mối liên hệ giữa cung và dây khi làm bài tập về diện tích hình tròn:

• Nếu trong một đường tròn mà có hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì sẽ bằng nhau;
• Nếu đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung trong một đường tròn thì sẽ đi qua trung điểm của dây căng cung đó.
• Trường hợp đường kính đi qua trung điểm của một dây trong một đường tròn thì sẽ đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây đó.
• Trường hợp đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung trong một đường tròn thì vuông góc với dây căng cung đó và ngược lại.

Đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp là gì?

Kiến thức tiếp theo xoay quanh các bài toán về diện tích hình tròn mà chúng tôi muốn chia sẻ với bạn đó chính là đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp. 

Định nghĩa

Nếu như đường tròn đi qua các đỉnh của một đa giác thì sẽ được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác. Điều này có nghĩa là đa giác đó là đa giác nội tiếp đường tròn. 

Còn đường tròn nội tiếp đa giác đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác. Và đa giác này cũng sẽ được quy ước là đa giác ngoại tiếp đường tròn.

Định lý

Tất cả đa giác hầu như đều có 1 một chỉ 1 đường tròn nội tiếp, có một và chỉ duy nhất một đường tròn ngoại tiếp.

Tứ giác nội tiếp hình tròn

Tứ giác nội tiếp hình tròn là gì là một phần kiến thức hình học cơ bản mà bạn cần nắm vững, nhất là các dấu hiệu nhận biết, cụ thể như sau:

Định nghĩa:

Tứ giác mà có 4 đỉnh nằm trên đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Định lý:

• Tổng số đo của các góc đối diện trong tứ giác nội tiếp bằng 180º
• Nếu trong một tứ giác mà có tổng số đo các góc đối diện bằng 180º thì ta gọi tứ giác đó là tứ giác nội tiếp đường tròn

Những dấu hiệu cơ bản để nhận biết tứ giác nội tiếp

• Tứ giác nội tiếp là tứ giác có tổng số đo các góc đối bằng 180º
• Tứ giác nội tiếp sẽ có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện với đỉnh đó
• Tứ giác nội tiếp sẽ có 4 đỉnh cách đều một điểm và điểm đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
• Nếu tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng 1 góc α

Quy ước: Hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

Độ dài đường tròn, cung tròn

Độ dài đường tròn, cung tròn được xác định bằng các công thức như sau:

• Công thức tính độ dài đường tròn tức là chu vi hình tròn:

Cho đường tròn tâm O bán kính R, độ dài của đường tròn là C= 2πR hoặc C = πd (d là đường kính và d = 2R)

• Cách tính độ dài cung tròn:

Cho đường tròn O bán kính R, độ dài I của cung a sẽ được tính theo công thức như sau: I = πRa/180

Diện tích hình tròn

Từ việc nắm vững các kiến thức về góc, cung chứa góc, số đo cung,… thì ta sẽ dễ dàng áp dụng cho những bài toán yêu cầu tính diện tích hình tròn.

Cách tính diện tích của hình tròn

Cho hình tròn O bán kính R thì diện tích S sẽ được tính theo công thức như sau:

S = πR²

Trong đó:

• R là ký hiệu của bán kính, có đơn vị là m, mm, cm,..
• S là ký hiệu của diện tích, đơn vị là mm², m²

Cách tính diện tích của hình quạt tròn

S = πR²n/360 hoặc S = lR/2

Trong đó:

• R là ký hiệu của bán kính trong đường tròn
• S là ký hiệu của diện tích
• n là ký hiệu của cung đường tròn
• l là ký hiệu của độ dài cung n

Như vậy, maynenkhikhongdau.net đã chia sẻ cho bạn những kiến thức về góc với đường tròn cũng như độ dài và diện tích hình tròn. Hi vọng, nhờ đó mà các bạn học sinh có thể ôn tập môn toán Hình học thật tốt để có thể vượt qua các kỳ thi một cách thuận lợi nhất.