Mệnh đề là gì? Bài tập về các loại mệnh đề, cách giải
Mệnh đề là một khái niệm không còn mới quen thuộc đối với các bạn học sinh trong kiến thức môn Toán, đặc biệt là các bạn học sinh lớp 10. Vậy mệnh đề là gì? Mệnh đề có các loại nào? Phương pháp giải bài tập về mệnh đề ra sao?… Cùng maynenkhikhongdau.net giải đáp những thắc mắc này trong bài viết dưới đây nhé!
Lý thuyết về mệnh đề
Mệnh đề là gì?
Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai. Nó có nghĩa là một câu khẳng định đúng là mệnh đề đúng và ngược lại, một câu khẳng định sai là một mệnh đề sai. Một mệnh đề chỉ có thể đúng hoặc sai, không thể vừa là mệnh đề đúng, vừa là mệnh đề sai được.
Mệnh đề có những loại nào? Ví dụ về mệnh đề
Mệnh đề chứa biến
Mệnh đề chứa biến là câu khẳng định mà tính đúng đắn hay sai của nó còn phụ thuộc vào một hay nhiều yếu tố biến đổi.
Ví dụ về mệnh đề chứa biến:
Cho một mệnh đề P(n) với n là số chẵn”
Vậy với P(1) là mệnh đề sai còn P(2) là mệnh đề đúng và mệnh đề P(n) được gọi là một mệnh đề chứa biến. Và tính đúng sai của Mệnh đề P(n) sẽ phụ thuộc vào yếu tố biến đổi là n.
Mệnh đề kéo theo
Mệnh đề kéo theo có dạng: “Nếu P thì Q” (được ký hiệu: P => Q ), trong đó P và Q là 2 mệnh đề. Và tính đúng sai của mệnh đề kéo theo như sau:
Mệnh đề kéo theo P => Q chỉ sai khi P đúng, Q sai.
Ví dụ về mệnh đề kéo theo:
Cho 2 mệnh đề P: “5 chia hết cho 2” và Q: “6 là số chẵn”
Đây là một mệnh đề đúng. Bởi, mệnh đề P sai nhưng không ảnh hưởng đến tính đúng đắn của mệnh đề Q vậy nên mệnh đề kéo theo vẫn đúng.
Mệnh đề tương đương
Nếu “P => Q” và “Q => P” đều là 2 mệnh đề đúng thì ta nói rằng P tương đương với Q và được ký hiệu: “P ⇔ Q”.
Khi P ⇔ Q, ta cũng nói P là điều kiện cần và đủ để có Q hoặc P khi và chỉ khi Q hay P nếu và chỉ nếu Q.
Ví dụ về mệnh đề tương đương:
Cho 2 mệnh đề P: “8 chia hết cho 2” và Q: “6 là số chẵn”.
Khi đó mệnh đề P và Q đều đúng nên có thể được phát biểu rằng “8 chia hết cho 2 khi và chỉ khi 6 là số chẵn”.
Mệnh đề đảo
Mệnh đề Q => P là mệnh đề đảo của mệnh đề P => Q. Mệnh đề này chỉ sai khi Q đúng và P sai.
Ví dụ về mệnh đề đảo:
Tương tự như ví dụ trên, mệnh đề Q => P phát biểu rằng: “Nếu 6 là số chẵn thì 5 chia hết cho 2”.
Đây là một mệnh đề sai vì Q đúng, P sai.
Phủ định của mệnh đề là gì?
Phủ định của mệnh đề P là mệnh đề “không phải P”, ký hiệu là P¯. Hai mệnh đề P và P¯ là 2 câu khẳng định trái ngược nhau.
Nếu P đúng thì P¯ sai.
Nếu P sai thì P¯ đúng.
Ví dụ về mệnh đề phủ định:
Mệnh đề P: “2 là số chẵn”
Mệnh đề phủ định của P là: “2 không phải là số chẵn”. Và đây là mệnh đề sai.
Các dạng và phương pháp giải các bài toán về mệnh đề
Để hiểu rõ hơn về mệnh đề là gì chúng ta cùng điểm qua những dạng bài toán về mệnh đề cùng những ví dụ thực hành dưới đây.
Dạng 1: Xác định mệnh đề và tính đúng sai của mệnh đề
Phương pháp làm bài:
- Dựa vào định nghĩa của mệnh đề để xác định được tính đúng đắn hoặc sai của mệnh đề đó.
- Mệnh đề chứa biến: Tìm tập D của biến x để để P(x) đúng hoặc sai.
Ví dụ: Hãy xác định các câu dưới đây câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề. Nếu là một mệnh đề thì là mệnh đề đúng hay mệnh đề sai.
- Trời hôm nay mát quá!
- Phương trình x² – 3x + 1 = 0 vô nghiệm
- 9 không là số nguyên tố
- Hai phương trình x² – 4x + 3 = 0 và √(x+3) + 1 = 0 có nghiệm chung.
- Hai tam giác đồng dạng khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
Hướng dẫn:
- a không phải là mệnh đề ( a là câu cảm thán).
- c, d là mệnh đề đúng;
- b, e là mệnh đề sai.
Dạng 2: Các phép toán về mệnh đề – Phủ định của mệnh đề
Phương pháp làm bài:
Dựa vào định nghĩa các phép toán
Ví dụ: Cho các mệnh đề sau. Hãy nêu mệnh đề phủ định của nó và xác định nó là mệnh đề đúng hay mệnh đề sai.
- “Hình chữ nhật có 2 cạnh liền kề bằng nhau”
- “44 là một số nguyên tố”
- “3>2”
- “Phương trình x² – 3x + 1 = 0 có nghiệm”
Hướng dẫn:
Ta có mệnh đề phủ định lần lượt là:
- “Hình chữ nhật có 2 cạnh liền kề không bằng nhau”. Đây là mệnh đề đúng.
- “44 không là một số nguyên tố”. Mệnh đề này đúng.
- “3 ≤ 2”. Mệnh đề này sai.
- “Phương trình x² – 3x + 1 = 0 vô nghiệm”. Đây là mệnh đề sai.
Dạng 3: Các phép toán về mệnh đề – mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương
Phương pháp làm bài:
Dựa vào định nghĩa các phép toán
Ví dụ: Phát biểu mệnh đề A => B và mệnh đề đảo, xác định tính đúng sai của mệnh đề.
- A: “Tứ giác ABCD là hình vuông” và B “Tứ giác ABCD có các cạnh AB = BC = CD = DA”.
- A: “3>5” và B “ 2<4”.
- A: “Tam giác IKM vuông tại I” và B “Tam giác IKM có IK ⊥ IM”.
Hướng dẫn:
- Mệnh đề: A => B : “Tứ giác ABCD là hình vuông thì các cạnh AB = BC = CD = DA”. Đây là mệnh đề đúng.
- Mệnh đề: A => B: “ 3>5 thì 2 <4”. Đây là mệnh đề sai.
- Mệnh đề: A=> B: “Tam giác IKM vuông tại I thì IK ⊥ IM”. Đây là mệnh đề đúng.
Dạng 4: Phương pháp chứng minh bằng phản thức
Phương pháp:
Để chứng minh mệnh đề P đúng ta có giả thiết P¯ => Q => M. Nếu M sai thì dừng phép chứng minh và kết luận P đúng.
Ví dụ: Chứng minh “n² chẵn => n chẵn”
Hướng dẫn:
Mệnh đề P: n chẵn.
P¯: n lẻ => n = 2p +1 (p ∈ N) => n² = (2p+1)² = 4p² + 4p + 1
=> n² = 2(2p² + 2p) +1 => n² = 2k +1 (k= 2p² + 2p)
n² lẻ (trái giả thiết).
=> Vậy n chẵn.
Lời kết
Trên đây là những kiến thức cơ bản về mệnh đề. Hy vọng bạn đọc có thể hiểu được mệnh đề là gì và giải được các bài toán liên quan đến mệnh đề.
Để lại phản hồi nếu bạn còn có bất cứ câu hỏi nào hoặc bổ sung cho phần kiến thức về mệnh đề này nhé!