Phân thức đại số là gì? Tính chất cơ bản của phân thức

Phân thức đại số hay còn được gọi tắt là phân thức là một dạng toán cơ bản nhưng lại phục vụ rất nhiều cho các phép tính phức tạp trong toán học. Dù có gặp thường xuyên nhưng liệu rằng bạn đã hiểu đầy đủ về phân thức đại số là gì? Tính chất cơ bản cũng như cách vận dụng giải các bài toán liên quan đến phân thức? Hãy cùng ôn tập lại phần kiến thức cơ bản này trong bài viết dưới đây nhé!

Định nghĩa phân thức đại số

Một phân thức đại số hay còn được gọi tắt là phân thức được định nghĩa là một biểu thức có dạng A/B , trong đó B#0 và A,B là những đa thức và:

• A được gọi là tử hay là tử thức
• B được gọi là mẫu hay là mẫu thức

Biểu thức đại số là gì? Biểu thức đại số chính là những biểu thức chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa cả trên số và chữ (đại diện cho các số). Một phân thức đại số là một biểu thức đại số nhưng không phải bất cứ biểu thức nào cũng là phân thức được. Nó chỉ là biểu thức khi và chỉ khi thức đó có dạng A/B và thỏa mãn các điều kiện đã nêu trên.

Lưu ý: 

• Mỗi đa thức bất kỳ đều được coi là một phân thức có mẫu là 1
• Các số 0 hay 1 cũng được gọi là một phân thức đại số.

Ví dụ một vài phân thức:

Tính chất cơ bản của phân thức

• Nếu cả tử và mẫu của một phân thức khi nhân đồng thời với một đa thức (đa thức này # 0) thì phân thức thu được bằng phân thức đã cho.

• Nếu cả tử và mẫu của một phân thức khi chia đồng thời cho một đa thức (đa thức này #0) thì phân thức thu được bằng phân thức đã cho.

Hai phân thức bằng nhau

Xét 2 phân thức A/B và C/D, với B#0, D#0. Ta có:

A/B = C/D khi: A.D = B.C.

Quy tắc đổi dấu phân thức

Nếu đổi dấu đồng thời cả tử và mẫu của một phân thức thì phân thức mới thu được cũng bằng phân thức đã cho.

Một số quy tắc tương tự khi đổi dấu phân thức như sau:

• Đổi dấu của cả phân thức cùng với tử thức của phân thức đó: 

• Đổi dấu của cả phân thức cùng với mẫu thức của phân thức đó:

• Đổi dấu của phần mẫu thức:

Các dạng bài về phân thức đại số

Dạng 1: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Phương pháp:

Bước 1: Tìm mẫu chung của các phân thức đã cho:

• Phân tích phần biến thành nhân tử và phần hệ số thành thừa số nguyên tố.
• Mẫu chung cần tìm sẽ gồm: phần hệ số của các hệ số mẫu, tích các nhân tử chung (phần biến); riêng phần biến sẽ lấy số mũ lớn nhất của phần tử trong phân thức.

Bước 2: Lấy mẫu chung vừa tìm được chia lần lượt cho từng mẫu thức để tìm nhân tử phụ của mỗi phân thức.

Bước 3: Nhân tử phụ tìm được lần lượt nhân cả tử và mẫu thức tương ứng.

Dạng 2: Rút gọn phân thức đại số

Phương pháp:

Để rút gọn phân thức một cách nhanh chóng ta có thể thực hiện theo các bước như sau:

• Tìm nhân tử chung bằng cách phân tích tử và mẫu của phân thức đã cho.
• Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung vừa tìm được ở bước 1 để rút gọn biểu thức đã cho.

Ví dụ: Hãy rút gọn phân thức sau

Giải:

Ta có x³ – 2x² = x².(x-2)

Vậy tử thức và mẫu thức của phân thức trong phân thức P có nhân tử chung là x-2. Thực hiện chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung ta được:

Xem thêm: Phương trình bậc nhất một ẩn là gì? Bài tập vận dụng, cách giải

Dạng 3: Cộng trừ các phân thức

Phép cộng các phân thức

• Tính chất:

• Quy tắc: Muốn cộng các phân thức đại số bất kỳ có cùng mẫu thức ta cộng các phần tử thức với nhau và giữ nguyên phần mẫu.

Đối với các phân thức khác mẫu số, ta tìm nhân tử chung của các mẫu số trong các phân thức cần tính tổng. Sau đó nhân cả tử và mẫu của từng phân thức với nhân tử chung tương ứng. Đến đây ta chỉ cần thực hiện phép cộng các phân thức đại số cùng mẫu mà thôi.

Phép trừ các phân thức

• Quy tắc: Muốn trừ các phân thức đại số bất kỳ cùng mẫu thức ta chỉ cần thực hiện phép trừ giữa các tử thức và giữ nguyên phần mẫu.

Đối với các phân thức khác mẫu số, ta tìm nhân tử chung của các mẫu số trong các phân thức cần tính hiệu. Sau đó nhân cả tử và mẫu của từng phân thức với nhân tử chung tương ứng. Đến đây bài toán sẽ trở thành phép trừ giữa các phân thức đại số cùng mẫu.

Dạng 4: Nhân chia các phân thức đại số

Nhân hai phân thức

• Tính chất:

• Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức bất kỳ với nhau ta chỉ cần nhân tử với tử, mẫu với mẫu.

Chia hai phân thức

Dạng 5: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ

Để biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành phân thức ta chỉ cần sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức để biến đổi chúng.

Bài tập vận dụng lý thuyết phân thức

Bài tập 1: Cho các phân thức sau, tìm điều kiện của x để chúng có nghĩa:

Giải:

a. Để phân thứccó nghĩa thì x – 3 # 0 <=> x # 3.

b. Phân thức có nghĩa khi: 2x – 3 # 0 <=> x # 3⁄2

c. Phân thức có nghĩa khi: -2x + 4 # 0 <=> x # 2

Bài tập 2: Tìm các giá trị của x thỏa mãn:

Giải:

a.

Điều kiện xác định (ĐKXĐ): 2x – 3 # 0 <=> x # 3⁄2

Kết luận: Giá trị x cần tìm là: x = 0.

Bài tập 3: Hãy chứng minh các phân thức dưới đây luôn có nghĩa.

Bài tập 4: Chứng minh các đẳng thức dưới đây:

Bài tập 5: Xét sự bằng nhau của các phân thức đã cho dưới đây:

Bài tập 6: Rút gọn phân thức và tìm giá trị của các phân thức trong các trường hợp dưới đây:

Hy vọng bài viết tổng hợp kiến thức về phân thức đại số phía trên hữu ích đối với bạn đọc. Chúc các bạn thành công trong việc vận dụng giải các dạng bài toán liên quan đến phân thức!