Tích có hướng của 2 vectơ là gì? Lý thuyết và bài tập về tích có hướng

15 Tháng Mười Hai, 2021 by Hoangcuc

Tích có hướng là một trong hai phép nhân thường gặp giữa các vectơ (tích có hướng, tích vô hướng của 2 vectơ). Đây là phần kiến thức toán học lớp 12 được sử dụng nhiều trong các bài kiểm tra cũng như đề thi. Cùng ôn tập lại lý thuyết về tích có hướng của 2 vectơ và áp dụng giải bài toán tính tích có hướng trong bài viết dưới đây nhé!

Tóm tắt

Khái niệm tích có hướng
Tích có hướng của 2 vectơ là gì?
Ví dụ về tích có hướng – Bài tập áp dụng
Cách tính tích có hướng bằng máy tính cầm tay

Khái niệm tích có hướng

Tích có hướng là một phép toán nhị nguyên trong không gian 3 chiều của các vectơ hay được hiểu đơn giản là một trong hai phép nhân được sử dụng nhiều nhất giữa các vectơ (nhân vô hướng và nhân có hướng).

Điểm khác biệt lớn nhất giữa phép nhân có hướng so với phép nhân vô hướng kết quả thu được của phép nhân có hướng là một giả vectơ thay cho một vô hướng. Đồng thời, kết quả thu được từ tích có hướng này vuông góc với mặt phẳng chứa 2 vectơ xuất hiện đầu tiên của phép nhân có hướng.

Tích có hướng là gì? Tích có hướng của 2 vectơ

Tích có hướng của 2 vectơ là gì?

Định nghĩa

Xét 2 vectơ trong không gian là: $\vec{b}$ u và $\vec{b}$ v , ký hiệu là [ $\vec{b}$ u , $\vec{b}$ v] hoặc $\vec{b}$ u /\ $\vec{b}$ v là $\vec{b}$ w thỏa mãn 3 điều kiện:

$\vec{b}$ w có phương vuông góc với cả 2 vectơ ban đầu là $\vec{b}$ u và $\vec{b}$ v
/ $\vec{b}$ u/ = / $\vec{b}$ u/ . / $\vec{b}$ v/.sin α, với α là góc hợp được tạo bởi $\vec{b}$ u và $\vec{b}$ v.
$\vec{b}$ u , $\vec{b}$ v và $\vec{b}$ w tạo thành một bộ ba thuận. Xem hình a.

Hình a) Tích có hướng của 2 vectơ là gì?

Tính chất tích có hướng

[ $\vec{b}$ u; $\vec{b}$ v] = [ $\vec{b}$ v; $\vec{b}$ u]
[ $\vec{b}$ u; $\vec{b}$ v] = $\vec{b}$ 0 ⇔ $\vec{b}$ u; $\vec{b}$ v cùng phương với nhau
[ $\vec{b}$ u; $\vec{b}$ v] ⊥ $\vec{b}$ u ; [ $\vec{b}$ u; $\vec{b}$ v] ⊥ $\vec{b}$ v
[ $\vec{b}$ u; $\vec{b}$ v]. $\vec{b}$ w = $\vec{b}$ 0 => bộ ba vectơ ( $\vec{b}$ u; $\vec{b}$ v; $\vec{b}$ w) đồng phẳng.
/[ $\vec{b}$ u; $\vec{b}$ v]/ = / $\vec{b}$ u/. / $\vec{b}$ v/.sin( $\vec{b}$ u; $\vec{b}$ v).

Ứng dụng của tích có hướng

Diện tích hình bình hành ABCD: S $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ = /[ $\vec{b}$ AB, $\vec{b}$ AD]/

Ứng dụng tích vô hướng tính diện tích hình bình hành

Diện tích tam giác ABC: S $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ = 1⁄2 /[ $\vec{b}$ AB, $\vec{b}$ AC]/

Ứng dụng tích có hướng của 2 vectơ tính diện tích tam giác

Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: S $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ = /[ $\vec{b}$ AB, $\vec{b}$ AD]. $\vec{b}$ AA’/

Ứng dụng tích có hướng tính thể tích khối hộp

Thể tích tứ diện ABCD: V $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ = 1⁄6 /[ $\vec{b}$ AB, $\vec{b}$ AC]. $\vec{b}$ AD/

Ứng dụng tích có hướng tính thể tích tứ diện

Ngoài ra, khi cần tính toán tích có hướng chúng ta cần lưu ý thực hiện theo các bước dưới đây:

Bước 1: Đối với các vectơ đề bài đã cho chúng ta cần viết tọa độ mỗi vectơ 2 lần liền nhau và các tọa độ tương ứng của 2 vectơ cần phải thẳng cột.

Ví dụ: $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ z $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$

$\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ z $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$

Bước 2: Tiến hành xóa bỏ hai cột ngoài cùng.

Bước 3: Tính toán theo quy luật: Nhân chéo rồi trừ.

<-> <-> <->

Ví dụ: Cho 2 vectơ $\vec{b}$ u = (1;5;3) và $\vec{b}$ v = (2;-1;0). Tính tích có hướng của 2 vectơ $\vec{b}$ u và $\vec{b}$ v.

Giải:

Áp dụng quy luật nhân chéo rồi trừ đã nêu ở phần trên ta có:

1 5 3 1 5 3

2 -1 0 2 -1 0

<-> <-> <-> (Phần này chỉ viết ở nháp)

Vậy [ $\vec{b}$ u , $\vec{b}$ v] = (3;6;-11).

Ví dụ về tích có hướng – Bài tập áp dụng

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 4 điểm lần lượt là: M(1;0;1), N(-1;1;2), I(-1;1;0), K(2;-1;-2).

Hãy chứng minh cho M, N, I, K là 4 đỉnh của một tứ diện
Tính thể tích tứ diện MNIK. Độ dài đường cao cao của tứ diện qua đỉnh A là bao nhiêu?

Giải:

Ta có: $\vec{b}$ MN = (-2;1;1), $\vec{b}$ MI = (-2;1;-1), $\vec{b}$ MK = (1;-1;-3)

=> [ $\vec{b}$ MN, $\vec{b}$ MI] = (-2;-4;0) => [ $\vec{b}$ MN, $\vec{b}$ MI]. $\vec{b}$ MK =2 #0.

=> $\vec{b}$ MN, $\vec{b}$ MI, $\vec{b}$ MK không đồng phẳng.

Vậy M, N, I, K là 4 đỉnh của một tứ diện.

V $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ = 1⁄6/[ $\vec{b}$ MN, $\vec{b}$ MI]. $\vec{b}$ MK/ = 2⁄6 = 1⁄3

Ta có: $\vec{b}$ NI = (0;0;-2), $\vec{b}$ NK = (3;2;-4)

=> [ $\vec{b}$ NI, $\vec{b}$ NK] = (-4;-6;0) => S $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ = 1⁄2/[ $\vec{b}$ NI, $\vec{b}$ NK]/ = √13

V $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ = 13 d(M; (NIK)). S $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$

=> d(M; (NIK)) = 3V $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ /S $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ = √13⁄13

Ví dụ 2: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm: A(-3;5;15); B(0;0;7), C(2;-1;4), D(4;-3;0). Hãy chứng minh AB và CD cắt nhau.

Giải:

Ta có: $\vec{a}$ AB = (3;-5;-8); $\vec{a}$ AC = (5;-6;-11); $\vec{a}$ AD = (7;-8;-15); $\vec{a}$ CD = (2;-2;-4)

=> [ $\vec{a}$ AB, $\vec{a}$ AC] = (7;-7;7) => [ $\vec{a}$ AB, $\vec{a}$ AC]. $\vec{a}$ AD = 0

=> $\vec{a}$ AB, $\vec{a}$ AC, $\vec{a}$ AD đồng phẳng.

=> A, B, C, D là bộ 4 điểm đã cho cùng thuộc một mặt phẳng (1).

Ngoài ra: [ $\vec{a}$ AB, $\vec{a}$ CD] = (4;-4;4) # 0 ⇔ $\vec{a}$ AB, $\vec{a}$ CD không cùng phương (2).

Từ (1) và (2) => AB và CD cắt nhau.

Cách tính tích có hướng bằng máy tính cầm tay

Để tính tích có hướng bằng máy tính cầm tay, chúng ta cần tham khảo các bước gợi ý dưới đây để thực hiện tính nhanh tích có hướng của 2 vectơ:

Xét ví dụ: Cho hai vectơ $\vec{a}$ u = (-1;2;3) và $\vec{a}$ v =(3;-2;4). Thực hiện tính tích có hướng của $\vec{a}$ u và $\vec{a}$ v bằng máy tính cầm tay.

Các bước làm:

Bước 1: Khởi động máy tính và vào chức năng MODE 5 (Vector).

Bước 2: Nhập các thông số của các vectơ cùng phép tính tích có hướng vào máy tính. Chú ý: 2 vectơ phải được viết liền kề nhau.

Thực hiện tính tích có hướng của 2 vectơ theo như các bước trong hình.

Theo cách tính trên ta thu được kết quả: $\vec{a}$ u. $\vec{a}$ v = (14;13;-4).

Tuy nhiên, để tính tích có hướng theo hướng dẫn bên trên được chính xác, chúng ta cần lưu ý một số điểm sau:

Hy vọng những kiến thức chúng ta vừa ôn tập đã giúp các bạn nắm rõ về tích vô hướng và áp dụng giải thành công các bài toán liên quan đến tích có hướng của 2 vectơ.