Tích vô hướng của 2 vectơ là gì? Bài tập tính tích vô hướng của 2 vectơ
Tích vô hướng là phần kiến thức quan trọng không thể bỏ qua của chương trình Toán học phổ thông. Vậy tích vô hướng của 2 vectơ là gì? Tính chất, ứng dụng của tích vô hướng ra sao?… Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp phần kiến thức này cùng những gợi ý về cách tính tích vô hướng bằng máy tính giúp bạn vận dụng giải bài tập một cách nhanh chóng nhất.
Tóm tắt
Tích vô hướng của 2 vectơ là gì?
Khái niệm về tích vô hướng của 2 vectơ
Xét hai véc-tơ là: và (với điều kiện cả ; # ). Tích vô hướng của 2 véc-tơ và là một số được xác định bởi:
. = //.//.cos(,) |
Theo quy ước, nếu = hoặc = thì . =
Trong Vật lý, tích vô hướng cũng được áp dụng nhiều và được coi là công. Ví dụ: Cho một vật dưới sự tác động của lực F thì di chuyển được quãng đường s = OO’. Lực F đó khi làm vật chuyển động thì hợp với hướng chuyển động OO’ của vật đó bằng một góc ϕ, khi đó độ lớn công mà lực F sinh ra là: A = F.s.ϕ .
Những tính chất cơ bản của tích vô hướng
Với hai số thực bất kỳ a và b ta luôn có: ab = ba; a(b + c) = ab + bc. Vậy với hai véc-tơ và thì sao? Người ta chứng minh được tích vô hướng gồm có những tính chất sau đây:
Xét 3 véc-tơ bất kỳ , và và ∀k là số thực.
- Tính chất giao hoán: . =.
- Tính chất chất phân phối: .( + ) = . + .
- (k. ). = k(.) = .(k.)
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Xét 2 véc-tơ , trên mặt phẳng tọa độ (O;i, j) với:
= (a1, a2) và = (b1, b2).
Khi đó, ta có công thức sau:
. = a1.b1 + a2.b2 |
Nhận xét: Hai véc-tơ , đều # , ta có: . = 0 ⇔ ⊥ . Nghĩa là , vuống góc với nhau khi và chỉ khi a1.b1 + a2.b2 = 0.
Ứng dụng tích vô hướng của 2 vectơ
- Độ dài của véc-tơ
Xét véc-tơ = (a1; a2). Véc-tơ có độ dài được tính theo công thức:
- Góc giữa 2 véc-tơ
Xét hai véc-tơ: = (a1, a2) và = (b1, b2) với: và đều # , từ định nghĩa tích vô hướng của 2 vectơ ta có:
- Khoảng cách giữa 2 điểm
Xét 2 điểm A(xA, yA) và B(xB, yB), khoảng cách giữa hai điểm A,B được tính theo công thức:
Công thức hình chiếu
Xét hai điểm A,B,C,D và đường thẳng AB, CD trong các trường hợp sau:
- Hai điểm A,B có hình chiếu vuông góc lên đường thẳng CD là các điểm A’,B’.Ta có:
- Hai điểm C,D có hình chiếu vuông góc lên đường thẳng AB là các điểm C’,D’. Ta có:
Các dạng toán về tích vô hướng của 2 vectơ và bài tập minh họa
Dạng 1: Tính tích vô hướng bằng định nghĩa
Phương pháp làm:
Khi tính các tích vô hướng ta thường tính trực tiếp dựa vào định nghĩa hoặc có thể chọn phân tích các véc-tơ trong tích cần tính thành các véc-tơ có mối liên hệ đặc biệt với nhau như: cùng hướng, ngược hướng với nhau hoặc vuông góc với nhau.
Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh là m. Các điểm I, K lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính tích vô hướng của các véc-tơ dưới đây:
Ví dụ 2: Cho ABC là một tam giác đều có cạnh bằng 3a. Xác định các điểm M,N thuộc AC sao cho AM = MN = NC. Tính tích vô hướng của:
Ví dụ 3:
Dạng 2: Áp dụng tích vô hướng để chứng minh hằng đẳng thức
Ví dụ: Cho hình vuông MNPK tâm O có cạnh bằng a. Hãy chứng minh với mọi điểm H bất kỳ ta luôn có:
HM² + HN² + HP² + HK² = 4HO2² + 2a²
Giải:
Dạng 3 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng tích vô hướng
Ví dụ: Cho 4 điểm phân biệt bất kỳ A,B,C,C. Hãy chứng minh rằng AB và DC vuông góc với nhau khi và chỉ khi: AC² – AD² = BC² – BD²
Giải:
Dạng 4: Biểu thức tọa độ tích vô hướng
Ví dụ: Xét tam giác ABC vuông cân tại A. Biết G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của cạnh BC với G(2⁄3; 0) và M(1; -1). Hãy tìm tọa độ các đỉnh A,B,C của tam giác ABC.
Tính tích vô hướng bằng máy tính casio FX 580VN X
Hướng dẫn cách nhập tọa độ của véc-tơ trên máy tính Casio FX 590VN X
Cách tính tích vô hướng bằng máy tính casio FX 580VN X
Bài viết trên đã tổng hợp lại những kiến thức liên quan đến tích vô hướng của 2 véc-tơ. Hy vọng bạn đọc nắm rõ được khái niệm tích vô hướng, tính chất cùng áp dụng giải thành công các dạng bài tập tính tích vô hướng của 2 véc-tơ hoặc vận dụng nhanh cách tính tích vô hướng bằng máy tính mà chúng tôi đã gợi ý trong bài viết này!