Tích vô hướng của 2 vectơ là gì? Bài tập tính tích vô hướng của 2 vectơ

Tích vô hướng là phần kiến thức quan trọng không thể bỏ qua của chương trình Toán học phổ thông. Vậy tích vô hướng của 2 vectơ là gì? Tính chất, ứng dụng của tích vô hướng ra sao?… Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp phần kiến thức này cùng những gợi ý về cách tính tích vô hướng bằng máy tính giúp bạn vận dụng giải bài tập một cách nhanh chóng nhất.

Tích vô hướng của 2 vectơ là gì?

Khái niệm về tích vô hướng của 2 vectơ

Xét hai véc-tơ là: ${\mathrm{⃗a}}^{}$và $\vec{b}$ (với điều kiện cả ${\mathrm{⃗a}}^{}$; $\vec{b}$ # $\vec{0}$). Tích vô hướng của 2 véc-tơ ${\mathrm{⃗a}}^{}$ và $\vec{b}$ là một số được xác định bởi: 

Theo quy ước, nếu ${\mathrm{⃗a}}^{}$ = $\vec{0}$ hoặc $\vec{b}$ = $\vec{0}$ thì ${\mathrm{⃗a}}^{}$.$\vec{b}$ = $\vec{0}$

Trong Vật lý, tích vô hướng cũng được áp dụng nhiều và được coi là công. Ví dụ: Cho một vật dưới sự tác động của lực F thì di chuyển được quãng đường s = OO’. Lực F đó khi làm vật chuyển động thì hợp với hướng chuyển động OO’ của vật đó bằng một góc ϕ, khi đó độ lớn công mà lực F sinh ra là: A = F.s.ϕ .

Những tính chất cơ bản của tích vô hướng

Với hai số thực bất kỳ a và b ta luôn có: ab = ba; a(b + c) = ab + bc. Vậy với hai véc-tơ ${\mathrm{⃗a}}^{}$ và $\vec{b}$ thì sao? Người ta chứng minh được tích vô hướng gồm có những tính chất sau đây:

Xét 3 véc-tơ bất kỳ ${\mathrm{⃗a}}^{}$ , $\vec{b}$ và $\vec{c}$ và ∀k là số thực.

• Tính chất giao hoán: ${\mathrm{⃗a}}^{}$.$\vec{b}$ =$\vec{b}$.$\vec{c}$
• Tính chất chất phân phối: ${\mathrm{⃗a}}^{}$.($\vec{b}$ + $\vec{c}$) = ${\mathrm{⃗a}}^{}$.$\vec{b}$ + ${\mathrm{⃗a}}^{}$.$\vec{c}$
• (k. ${\mathrm{⃗a}}^{}$).$\vec{b}$ = k(${\mathrm{⃗a}}^{}$.$\vec{b}$) = ${\mathrm{⃗a}}^{}$.(k.$\vec{b}$)

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Xét 2 véc-tơ ${\mathrm{⃗a}}^{}$ , $\vec{b}$ trên mặt phẳng tọa độ (O;i, j) với:

${\mathrm{⃗a}}^{}$ = (a1, a2) và $\vec{b}$ = (b1, b2).

Khi đó, ta có công thức sau:

Nhận xét: Hai véc-tơ ${\mathrm{⃗a}}^{}$, $\vec{b}$ đều # $\vec{0}$, ta có: ${\mathrm{⃗a}}^{}$.$\vec{b}$ = 0 ⇔ ${\mathrm{⃗a}}^{}$ ⊥ $\vec{b}$. Nghĩa là ${\mathrm{⃗a}}^{}$ , $\vec{b}$ vuống góc với nhau khi và chỉ khi a1.b1 + a2.b2 = 0.

Ứng dụng tích vô hướng của 2 vectơ 

• Độ dài của véc-tơ 

Xét véc-tơ ${\mathrm{⃗a}}^{}$ = (a1; a2). Véc-tơ ${\mathrm{⃗a}}^{}$ có độ dài được tính theo công thức:

• Góc giữa 2 véc-tơ

Xét hai véc-tơ: ${\mathrm{⃗a}}^{}$ = (a1, a2) và$\vec{b}$ = (b1, b2) với: ${\mathrm{⃗a}}^{}$ và $\vec{b}$ đều # $\vec{0}$ , từ định nghĩa tích vô hướng của 2 vectơ ta có:

• Khoảng cách giữa 2 điểm

Xét 2 điểm A(xA, yA) và B(xB, yB), khoảng cách giữa hai điểm A,B được tính theo công thức:

Công thức hình chiếu

Xét hai điểm A,B,C,D và đường thẳng AB, CD trong các trường hợp sau:

• Hai điểm A,B có hình chiếu vuông góc lên đường thẳng CD là các điểm A’,B’.Ta có:

• Hai điểm C,D có hình chiếu vuông góc lên đường thẳng AB là các điểm C’,D’. Ta có: 

Các dạng toán về tích vô hướng của 2 vectơ và bài tập minh họa

Dạng 1: Tính tích vô hướng bằng định nghĩa

Phương pháp làm: 

Khi tính các tích vô hướng ta thường tính trực tiếp dựa vào định nghĩa hoặc có thể chọn phân tích các véc-tơ trong tích cần tính thành các véc-tơ có mối liên hệ đặc biệt với nhau như: cùng hướng, ngược hướng với nhau hoặc vuông góc với nhau.

Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh là m. Các điểm I, K lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính tích vô hướng của các véc-tơ dưới đây:

Ví dụ 2: Cho ABC là một tam giác đều có cạnh bằng 3a. Xác định các điểm M,N thuộc AC sao cho AM = MN = NC. Tính tích vô hướng của:

Ví dụ 3:

Dạng 2: Áp dụng tích vô hướng để chứng minh hằng đẳng thức

Ví dụ: Cho hình vuông MNPK tâm O có cạnh bằng a. Hãy chứng minh với mọi điểm H bất kỳ ta luôn có:

HM² + HN² + HP² + HK² = 4HO2² + 2a²

Giải:

Dạng 3 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng tích vô hướng

Ví dụ: Cho 4 điểm phân biệt bất kỳ A,B,C,C. Hãy chứng minh rằng AB và DC vuông góc với nhau khi và chỉ khi: AC² – AD² = BC² – BD²

Giải:

Dạng 4: Biểu thức tọa độ tích vô hướng

Ví dụ: Xét tam giác ABC vuông cân tại A. Biết G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của cạnh BC với G(2⁄3; 0) và M(1; -1). Hãy tìm tọa độ các đỉnh A,B,C của tam giác ABC.

Tính tích vô hướng bằng máy tính casio FX 580VN X

Hướng dẫn cách nhập tọa độ của véc-tơ trên máy tính Casio FX 590VN X

Cách tính tích vô hướng bằng máy tính casio FX 580VN X

Bài viết trên đã tổng hợp lại những kiến thức liên quan đến tích vô hướng của 2 véc-tơ. Hy vọng bạn đọc nắm rõ được khái niệm tích vô hướng, tính chất cùng áp dụng giải thành công các dạng bài tập tính tích vô hướng của 2 véc-tơ hoặc vận dụng nhanh cách tính tích vô hướng bằng máy tính mà chúng tôi đã gợi ý trong bài viết này!